ONDAS I. Conceptos fundamentales










Prefacio

En este trabajo se presentan los conceptos más relevantes del movimiento ondulatorio. Se aborda su estudio en forma general haciendo mención, indistintamente, de los diferentes tipos de ondas que se encuentran en la naturaleza, tal como las ondas en el agua, las sonoras, las electromagnéticas, entre otras. Se recurre a los recursos clásicos existentes en el laboratorio como la cubeta de onda, el equipo de vibraciones mecánicas, el kit de diapasones, el tubo labial, el monocordio, el láser, etc.; así como, a las animaciones computarizadas para garantizar una efectiva captación de los diferentes procesos físicos involucrados en el panorama ondulatorio. 

Las simulaciones se elaboraron con GeoGebra; también se activan diversos Applets de Internet. Se analizan diversas aplicaciones en otras ramas del conocimiento como la Química, la Biología, la Medicina, la Tecnología, entre otras. 

   Los autores






1.   ¿Qué son las ondas?

En cierto modo estamos familiarizados con el concepto intuitivo del movimiento ondulatorio. Expresiones como “emisión de onda corta”, “el murmullo de las olas del mar”, “las ondas sísmicas”, “los devastadores tsunamis”, entre otras, forman parte del vocablo usado en nuestra vida diaria. A menudo observamos diferentes procesos relacionados con el fenómeno ondulatorio; desde el amanecer hasta el ocaso, la luz solar nos baña con todo su espectro cromático; las melodiosas notas del trinar de las aves o las armoniosas notas de las sinfonías de los clásicos, nos deleitan con su belleza  acústica. Desde el punto de vista tecnológico, el milagro de las comunicaciones (radio, radar, telefonía), las aplicaciones en ciencias de la salud, entre otras, tiene su fundamentación en nuestro conocimiento actual de las ondas mecánicas y electromagnéticas. En consecuencia, con propiedad podemos afirmar que ondas diversas rondan asiduamente nuestro alrededor.

A continuación mencionaremos algunos casos específicos:

a)     La caída de una piedra sobre un vaso de agua, una piscina o una laguna, cuya superficie libre horizontal se encuentra en equilibrio mecánico, produce un desplazamiento transversal del líquido en la región superficial donde ésta hizo impacto; se origina de esta manera, un cambio en las condiciones mecánicas (una perturbación) del medio. Esta perturbación no queda “congelada” en ese lugar, sino que después de cierto intervalo de tiempo, se desplaza sobre la superficie en forma circular, desde el punto de impacto sobre la superficie hasta alcanzar otras regiones, incluso las orillas. Un efecto muy particular se pone de manifiesto: la materia (el agua) no se desplaza con la perturbación. Este proceso se puede visualizar con un trozo de corcho flotando en la superficie del agua, ya que al pasar la perturbación por la posición del corcho, éste, aunque sube y baja, no se mueve en la dirección en que las ondulaciones se propagan. En el siguiente video se puede apreciar la forma que adopta la superficie libre de un líquido cuando se introduce una perturbación.                                          


      

 b) Al golpear un sector de un resorte elástico estirado, se le provoca un desplazamiento transversal, con el subsecuente cambio de su estado de equilibrio estático inicial. Esta alteración crea una nueva condición física que se propaga (desplaza) en toda su longitud. En el video se observa la “configuración” instantánea de un pulso que se propaga  a  lo largo de un resorte elástico. 

 

 c) Al golpear la membrana de un tambor, se modifica (perturba) su condición de equilibrio mecánico, y empieza a oscilar transversalmente, en forma similar a las ondas superficiales en el agua. Esto a su vez, produce compresiones y expansiones del aire circundante lo cual genera perturbaciones que se propagan a través de este medio como un sonido. En el video de abajo se visualizan los modos de vibración de una membrana elástica usando arena fina. 

 

d)  Al soplar sobre el pico de una botella se perturba el aire en equilibrio que llena su interior y se genera un sonido. Algo parecido ocurre con los instrumentos musicales de vientos como se discutirá más adelante; por igual, al pulsar las cuerdas de cualquier instrumento musical sus vibraciones producen compresiones y expansiones del aire que las rodeas y se generan las diferentes  notas.

e)  Durante las tormentas, las descargas eléctricas (rayos) generan ondas sonoras y luminosas, además de ondas de radio que se pueden captar en los radiorreceptores en forma de ruido sonoro.

f)  En el espacio exterior, donde existen regiones con gases neutros y ionizados (plasmas), también se producen sonidos. Por supuesto, bajo la acción de perturbaciones se generan tales ondas sonoras. El siguiente video de la NASA sobre Los Sonidos del Espacio Interestelar muestra cómo en el Universo se producen situaciones con ondas generadas en plasmas interestelares, que tienen similitud con el comportamiento de las ondas sonoras en ambientes terrestres. Se puede activar el traductor en español con el botón configuración del cintillo inferior.



Podríamos continuar con otros ejemplos de esta naturaleza, pero la intención es, mostrar algunos de ellos, deducir ciertas propiedades generales y aplicarlas en otros casos particulares. Los casos anteriores se caracterizan por tres propiedades comunes: 1) un cambio (perturbación) generado en un medio elástico en equilibrio mecánico que se desplaza con cierta velocidad, 2) un medio en equilibrio que sirve de vía de transporte a través del cual viaja la perturbación, y 3) el medio de transporte de la perturbación, como un todo, permanece estático, es decir el medio no viaja con la perturbación.

En general, cualquier cambio -espacio temporal- de las condiciones físicas que determinan el estado de equilibrio de un medio elástico, en cualquier porción del mismo, genera una nueva condición física, la cual se interpreta como una  perturbación que se propaga en parte o toda su extensión. La experiencia demuestra que, este cambio no permanece “congelado” en el medio; por el  contrario, se desplaza como un pulso ondulatorio. Si luego se mantiene un proceso periódico y consecutivo de generación de pulsos, se establece el tren de ondas, que se mueve con una determinada velocidad en el medio que le sirve de transporte. 
  
En particular, las perturbaciones efectuadas en un medio elástico en equilibrio y  que viajan a través del mismo las denominaremos: ondas mecánicas

2. Principios Fundamentales
a) Definición de parámetros
Cualquier deformación efectuada al extremo de una cuerda o un resorte elástico, largo y estirado, se transmite en toda su longitud con cierta velocidad V. Viaja un pulso ondulatorio (cresta o valle). Podemos determinar la velocidad V del pulso, midiendo la distancia recorrida l  y el tiempo  t  que tarda en recorrerla, esto es 


                                                                                                                    
Claro está, estamos suponiendo que el pulso se mueve con un movimiento uniforme a lo largo de la cuerda. En el siguiente video se representa gráficamente un pulso propagándose a lo largo de una cuerda.

video

Se pueden generar también pulsaciones repetidas, perturbando consecutivamente la cuerda a intervalos de tiempos iguales. Al conectar al extremo de la cuerda un dispositivo mecánico que oscile con movimiento armónico simple, se puede generar un tren periódico de pulsos, por encima (crestas) y debajo (valles) de su posición de equilibrio; es decir, resulta una onda armónicaEn este video se representa gráficamente una onda armónica propagándose a lo largo de una cuerda.     

   video

Observemos como esta onda se propaga por la cuerda. Las pulsaciones producidas por el generador de ondas se mueven a lo largo de ella. Si fijamos nuestra atención en un punto de la cuerda, observaremos que las pulsaciones (crestas y valles) pasan por este punto cada cierto tiempo y con cierta regularidad. El tiempo que tarda un par de pulsos consecutivos iguales, dos crestas por ejemplo, en pasar por el mismo punto, es el periodo T de la onda; y el número de crestas (o valles) que pasan por ese punto, por unidad de tiempo es su frecuencia f. Además, a medida que la onda se mueve, la distancia entre dos pulsos iguales (dos crestas, por ejemplo) y consecutivos permanece constante. Esta distancia mínima, la cual se repite en toda la extensión de la cuerda, se denomina longitud de onda λ (lambda). En función de T λ o de λ y f, la velocidad V de la onda es 


           
Como se sabe, la periodicidad temporal es característica de un sistema que vibre con un movimiento armónico simple. De igual manera, la periodicidad temporal es una característica del movimiento ondulatorio y viene determinada por su período T; pero, existe otra periodicidad, la espacial, determinada por  la longitud de onda λ. Más adelante se revisan y redefinen estos conceptos con precisión.

La ecuación (2) obtenida para ondas mecánicas, es válida también para cualquier tipo de movimiento ondulatorio, independientemente de su naturaleza y propiedades.

En conclusión tenemos que:

a) Para generar una onda mecánica se requiere de un generador de onda y un medio elástico  en equilibrio.
b) Una onda mecánica es el producto de una serie de perturbaciones efectuada a un medio elástico en equilibrio.
c)  Ni el medio como un todo, ni una porción del mismo,  se desplazan con las perturbaciones.
d) Si el generador perturba periódicamente al medio, se generan ondas armónicas.
e) La frecuencia de las ondas periódicas coincide con la frecuencia del generador.
f) La periodicidad espacio temporal, es la característica fundamental del movimiento ondulatorio. 
g) La relación entre la longitud de onda  λ y la frecuencia f se expresa mediante la ecuación:  V = λ f .

b) Matemáticas de las ondas

Consideremos en primer lugar, la función lineal  f(x) = x, cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen de un sistema de coordenadas cartesiano. La gráfica de la misma línea desplazada hacia la derecha (izquierda),  una distancia x (-x), viene dada por la función f(x) = x - a   ( f(x) = x + a ), como se puede ver en la figura 1.  Así que, para desplazar la recta a la derecha o izquierda, basta restar o sumar la cantidad a la coordenada x

En general, cuando se tiene una función f(x) como la mostrada en la figura 2, y se reemplaza por x - a  se obtiene la función f(x - a), desplazada hacia la derecha. Es de notar que la “forma” de la función permanece inalterada, como se puede comprobar al sustituir x por x - a, puesto que se obtienen los mismos valores de la coordenada y. Igualmente, para desplazar la función f(x) a la izquierda se le suma a.

Fig. 1 Gráfica de la funciones f(x) = x   f(x) = x -7. 

Fig. 2 Gráfica f(x) para simular un "pulso" y el mismo  desplazado a la derecha 7 unidades.

Los Applets que se muestran a continuación, realizados con el software Geogebra, muestran en forma gráfica lo discutido arriba. Para activarlos hay que pulsar el botón del Deslizador (semirecta con círculo) con el ratón y manteniéndolo presionado se mueve a la derecha o izquierda con las teclas flecha del tablero. De esta manera se cambia el valor del parámetro a y las gráficas (recta y curva) se desplazan. La recta roja a trazos sirven de referencia en el caso lineal.

 

Ver en:
http://geogebratube.org/material/show/id/62350
http://geogebratube.org/student/m81887


De modo que, un cambio en el valor de  coordenadas introduce un desplazamiento de la curva hacia la derecha una distancia a; al contrario, un reemplazo de a por x -a, introduce un corrimiento de la curva hacia la izquierda una distancia a. Ahora bien, si el parámetro a depende del tiempo de modo que a = V t, donde V es la velocidad (constante) de la curva, se obtiene una “curva viajera”, que se desplaza a lo largo del eje x (figura 2). Por consiguiente,

        
es la expresión analítica adecuada para representar una nueva “situación física” o una perturbación que viaja hacia la izquierda +V o hacia la derecha -V, respectivamente, y por consiguiente se usará a continuación en la descripción de las ondas armónicas. 

       El siguiente applet simula el movimiento de un pulso ondulatorio en dirección x. 

Verlo también en http://tube.geogebra.org/student/m1169895

c) Ondas armónicas

Observemos la figura  3 donde se muestra la fotografía instantánea de la forma “real” que adopta la cuerda cuando es perturbada en uno de sus extremos mediante la acción de un dispositivo mecánico (a la izquierda) que oscila con un movimiento armónico simple.  Al comparar con el video anterior, correspondiente a la gráfica de la función f(x) = sen x, concluimos que coinciden bastante bien.  Esto sugiere que las funciones armónicas seno y coseno, podrían servir para describir el movimiento de este tipo de ondas, pero con un argumento que tenga la forma funcional de la ecuación 3.



        Fig. 3 Fotografía de una onda estacionaria  transversal en una cuerda.

Así que, un caso sencillo del movimiento ondulatorio es la función senoidal (o cosenoidal) tal como:


donde Ψ0, el valor máximo de la función Ψes la amplitud de la onda (una constante cuyo significado se dará a continuación) y ε es la fase inicial.

Al reemplazar el valor de x  por   x + 2p/k  se obtiene para ψ lo siguiente (con ε =  0):




Por lo tanto, 

Lo cual significa que la curva se repite en sí misma cada longitud  2p/k.

Pero, de acuerdo a lo discutido anteriormente, ésta cantidad debe ser λ , la longitud de onda.  Así que λ  es el periodo espacial y el inverso de esta cantidad 2p/, no es más que, las cantidades de longitudes de onda contenida en la distancia  2p y se denomina número de onda k. 

De igual forma se puede proceder con la variable temporal: si se remplaza  t  por t + T en la ecuación senoidal dada antes, se obtiene que, Ψ(x, t+T) = Ψ(x,t), con lo cual se demuestra que el parámetro t es el período temporal. En consecuencia, 


representa una onda armónica  de longitud de onda λ, moviéndose hacia la derecha del eje +x con velocidad 

donde f es la frecuencia (número de vibraciones por unidad de tiempo), ω = 2pf es la frecuencia angular; por consiguiente, la frecuencia f es inversamente proporcional al período T (tiempo que transcurre cada vez que las partículas de la onda realizan una oscilación completa, f = 1/T). La velocidad V depende de las propiedades del medio, como veremos más adelante. 

        En el siguiente Applet se puede variar el número de onda, la longitud de la onda y su amplitud con los deslizadores respectivos. Se puede apreciar cómo k depende de 
λ. Por ejemplo, con  λ  = 2p , entonces k = 1, lo cual significa que en la distancia 2p (6,28) sólo hay una longitud de onda; para  λ = p, entonces k = 2, y por consiguiente en la distancia 2p hay dos longitudes de onda, y así sucesivamente.




         Ver en: http://geogebratube.org/material/show/id/82267

 Por otra parte, el argumento de la función seno, ( θ = kx – ωt + ε ), se conoce como la fase de la onda; la rapidez de cambio temporal de θ, con x constante, es la frecuencia angular; la rapidez de cambio espacial con t constante es el número de onda; y el cociente del primero respecto al segundo es la velocidad de fase V de la onda. La fase inicial ε depende de cómo inicia su movimiento el generador de las ondas.

           En los siguientes videos se muestra cómo se origina la onda sí el vibrador (mano) comienza (t = 0) a moverse hacia abajo o hacia arriba. Sí la mano se mueve hacia abajo el ángulo de fase ε = 0; sí se mueve hacia arriba, el ángulo de fase ε = p. Note la diferencia entre las dos ondas. La primera onda (primer video) toma valores negativos en la primera mitad del ciclo, porque la mano está moviéndose por debajo de la posición de equilibrio y positivos en la segunda mitad; la segunda onda (segundo video) toma valores positivos en la primera mitad del ciclo, porque la mano está moviéndose por encima de la posición de equilibrio y negativos en la segunda mitad.

  video


video

El siguiente applet consiste de una cadena de discos conectados mediante elementos elásticos. De esta forma se muestra cómo se origina la onda sí el vibrador (punto azul) comienza (t = 0) a moverse hacia abajo o hacia arriba. Sí la mano se mueve hacia abajo el ángulo de fase es ε = 0; sí se mueve hacia arriba, el ángulo de fase es ε = 3,1416 . Note la diferencia entre las dos ondas. La primera onda toma valores negativos en la primera mitad del ciclo, porque la mano está moviéndose por debajo de la posición de equilibrio y positivos en la segunda mitad; la segunda onda toma valores positivos en la primera mitad del ciclo, porque la mano está moviéndose por encima de la posición de equilibrio y negativos en la segunda mitad.


Actividades:

1. Pulse el botón de Inicio para activar el applet y observe cómo se empiezan a mover hacia abajo los puntos. Pulse el botón Pausa cuando haya transcurrido un tiempo t igual a la mitad del período (t = 1 s) observará que se habrá formado la primera cresta con valores negativos. Puede usar también el deslizador t para precisar el valor de t. 

2. Pulse Inicio para que continúe el movimiento y deténgalo en t = 2 s. Observe cómo se habrá formado una onda completa con longitud de onda igual a 6,28 . Active la casilla Gráfica y observe cómo se despliega la gráfica representativa de esta onda. En este caso la Fase inicial vale cero.

3. Cambie el valor del ángulo de fase de 0 a 6,28. Observe cómo se invierte la onda.

4. Calcule la Fase de la onda con la fórmula que aparece en la parte inferior para t = 2 s y x = 6,28. Compruebe que la fase de la onda es igual a la fase inicial (6,28). 


   Según la ecuación de arriba,  


Ψ(x,t) es una función de dos variable, una espacial y otra temporal. Así que, para un instante de tiempo fijo, t = 0 por ejemplo,  Ψ(x,0) da la distribución de puntos a lo largo del eje x;  Ψ(0,t) describe el movimiento armónico simple del punto ubicado en x = 0 y  Ψ(x,t) detalla el movimiento de todos los puntos del medio en vibración a medida que la onda se propaga a lo largo del eje x. 

A fin de precisar el significado de la longitud de onda y la frecuencia de la onda armónica observemos el siguiente Applet. Todos los puntos del medio por donde pasa la onda vibran con la misma frecuencia y periodo, y sus máximos desplazamientos (amplitud) coinciden. Sin embargo, dos puntos separados una, dos, tres,…, N  longitudes de onda (A y C o B y D en el Applet) vibran en fase, sincronizados; es decir, suben y bajan al mismo tiempo porque tienen igual desplazamiento, velocidad, aceleración, energía cinética y potencial. Aunque, si están separados media, una y media, dos y media,…longitudes de onda (A y B, B y C, C y D, A y D), vibran desfasados; es decir, mientras uno sube el otro baja. En consecuencia, se define la longitud de onda como la mínima distancia entre dos puntos que vibran en fase. En este caso hacemos referencia a la diferencia de fase entre dos puntos del medio; A y B tienen una diferencia de fase de p radianes, pero la diferencia de fase entre A y C es de 0 radianes. Por comodidad la longitud de onda se obtiene midiendo la distancia de cresta a cresta o de valle a valle de la onda.



Ver en: http://geogebratube.org/material/show/id/82285


Si se fija la atención en una porción de la onda, sea esta una cresta o un valle, se puede seguir su movimiento durante su propagación, como se puede observar activando el Applet anterior. En tal sentido pulse el botón de Inicio y observe que la punta de flecha viaja con cierta velocidad y cuando ha recorrida la distancia que separa dos crestas consecutivas (puntos E y F), el punto rojo ha realizado una oscilación completa. Durante una oscilación completa del punto rojo, la cresta de la onda donde está montada la flecha azul habrá recorrido una longitud de onda. Por otra parte, el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda es su periodo.

El siguiente applet también muestran el concepto de longitud de onda descrito arriba. Se puede activar la rejilla para observar solamente una serie de puntos vibrando en fase o desfasados. 



Disponible en:
 http://geogebratube.org/student/m97133  
 http://fisicacongeogebra.blogspot.com/2014/02/los-applets-que-se-muestran.html

Actividades:

1. Active el applet anterior con el botón de Inicio y observe cómo se propaga la onda.

2. Active la Casilla Puntos rojos en fase y bserve cómo los puntos A , C, E y G, separados una longitud de onda, vibran en fase.

3. Active la Casilla Puntos verdes en fase y observe cómo los puntos B , D, F y H, separados una longitud de onda, también vibran en fase.

4. Observe cómo los pares de puntos A y B, B y C, C y D, entre otros, separados media longitud de onda, vibran fuera de fase; igual para A y D, separados una longitud de onda y media.

5. Active la Casilla Rejilla y desactive la Casilla Onda y observe cómo los diferentes puntos oscilan en fase y desfasados.



En el caso particular de una onda viajera que se propaga a lo largo de una cuerda elástica de longitud infinita, la ecuación que describe el desplazamiento de los diferentes elementos que la constituyen es:


Y en el caso de una onda sonora la ecuación es:


donde P*(x,t) es el cambio de presión que se produce en el aire por donde pasa el sonido con velocidad V, cuyo valor es cerca de 330 m/s en condiciones normales de temperatura, presión y densidad.

       En el siguiente video se visualizan tres ondas de diferentes amplitudes y frecuencias. La roja y la azul tienen diferentes frecuencias pero iguales amplitudes; la azul y la verde tienen diferentes amplitudes pero la misma frecuencia. La longitud de onda de la roja duplica en valor a las correspondientes longitudes de onda de las otras dos.

  video


Se recomienda el Applets: 
http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/MovOnd/index.htm .


En la presentación en Power Point que se muestra a continuación se describen las generalidades de lo discutido con anterioridad.





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