ONDAS II. Propiedades

    

Aspecto dinámico del movimiento ondulatorio en una cuerda elástica

El análisis de las vibraciones de una cuerda elástica es de primordial importancia por ser éste, el sistema mecánico continuo más elemental que existe, dentro del marco teórico conceptual de las vibraciones de sistemas mucho más complicados. La visualización de las ondas, la conceptualización y discretización de las magnitudes físicas inherentes a  las ondas, se logran establecer muy bien con una cuerda elástica extendida. Aparte del interés meramente académico, es evidente las múltiples aplicaciones de las cuerdas en diversos instrumentos musicales. 

En general, a fin de estudiar un determinado sistema físico particular, es necesario: 
a) Determinar las propiedades (mecánicas, termodinámica,   electromagnéticas, etc.) más relevantes involucradas en los cambios físicos del sistema objeto de análisis. 
b) Establecer las propiedades físicas del medio circundante.  
c) Identificar los diferentes tipos de interacciones existentes dentro del sistema mismo y, entre el sistema y el medio circundante. 

Apliquemos estos criterios a nuestro caso particular. Consideremos una cuerda elástica de gran extensión con una longitud L y sección transversal circular constante de radio R, con una masa distribuida uniformemente en toda su extensión. Esta cuerda, se coloca estirada en posición horizontal y se aplican en sus extremos dos fuerzas F iguales en magnitud y dirección, pero en sentidos contrarios, de modo que aparezca  una tensión T, en cualquier punto de su extensión. Tres propiedades fundamentales tiene esta cuerda: extensión (medida con su longitud L), inercia (medida por su masa M por unidad de longitud, M/L) y elasticidad (medida a través de T).

La cuerda se encuentra inmersa dentro  de un medio constituido por un fluido material (el aire), campos estacionarios (gravitatorio, eléctrico y magnético) y radiaciones (la luz, por ejemplo). La acción del campo gravitatorio se manifiesta en una curvatura en toda su extensión,  y en su peso P. Si la cuerda tiene propiedades eléctricas y magnéticas, aparece la acción de los demás campos estacionarios, así como el efecto de la radiación, con sus correspondientes fuerzas. El efecto del fluido es hacer que la cuerda disipe energía y se amortigüe su movimiento. Inicialmente, consideremos que la cuerda se encuentra en equilibrio mecánico. Bajo estas condiciones, cualquier cambio de las condiciones físicas que determinan su estado de equilibrio, en cualquier porción de la misma, genera una nueva condición física, la cual se interpreta como una perturbación que se propaga en toda su extensión. Como hemos mencionado, la experiencia demuestra que, este cambio no permanece “congelado” en la cuerda; al contrario, se desplaza  como un pulso ondulatorio a lo largo de ella. Si luego se provoca un proceso periódico y consecutivo de pulsos, aparece una onda armónica, que se mueve con cierta velocidad.  En el Apéndice A.2 se deduce la ecuación de onda mediante la aplicación de las leyes de Newton.  

Nuestro objetivo sería determinar una forma funcional de la onda y su velocidad de propagación en función de las propiedades físicas de la cuerda, es decir del medio material que sirve de vía de transporte, y de las propiedades del medio circundante con el cual interactúa. Sin embargo, en aras de la simplificación, se considera que los efectos que incorporan los campos y el medio circundante, son despreciables.

En este caso, las propiedades preponderantes del medio son su inercia y su elasticidad. Por efecto de la elasticidad se generan fuerzas elásticas restauradoras que actúan sobre cualquier porción del medio que haya sido desplazado de su posición de equilibrio estable; por su parte, la inercia da información acerca de la respuesta de ésta porción  desplazada, a dichas fuerzas restauradoras.

Para una cuerda estirada la elasticidad se mide mediante la tensión T  y la inercia por la densidad lineal de masa m: la masa por unidad de longitud. Mediante el análisis de las condiciones dinámicas que en ésta impera, se puede demostrar que cualquier perturbación que se genere, se propagará con la velocidad

                                                            
Esta ecuación  pone en evidencia la acción conjunta de los efectos de la elasticidad (T)  y la  inercia de la cuerda (μ).

Con el paso de la onda a lo largo de la cuerda, sobre aquellos elementos (pequeñas porciones de ésta) ubicados en posiciones diferente a la del equilibrio, se genera por efecto de la tensión una fuerza restauradora que lo obliga a retornar a dicha posición; en estos puntos de equilibrio, la fuerza deja de actuar y la inercia  “toma el control” para enviar al elemento hacia los otros lados de los puntos de equilibrio. Este proceso se repite y mantiene mientras la onda esté recorriendo la cuerda. Por simplicidad, no hemos considerado en este análisis cualitativo el efecto de la fricción. Compruebe que las unidades de la cantidad subradical de esta ecuación está dada en   (m/s)2.

La ecuación anterior mantiene su forma funcional en todos los tipos de ondas mecánicas, independientemente de su naturaleza. En las ondas mecánicas siempre encontraremos en el numerador la cantidad subradical, a la magnitud física que toma en cuenta la elasticidad del sistema y en el denominador, a la magnitud física que involucra la inercia.  En base a esto se puede calcular que, el sonido viaja con una velocidad de 340 m/s en el aire, en condiciones normales; en el acero puede alcanzar los 1.500 m/s. Las ondas sísmicas (ondas P) tienen velocidades que varía entre 6 Km/s en la superficie terrestre y 10,4 Km/s cerca de su núcleo; y de 3,4 Km/s a 7,2 Km/s (ondas S).  

e) Propiedades generales de las ondas

Las ondas se clasifican dependiendo de sus propiedades. En tal sentido se considera cómo se propagan, sentido de vibración de la perturbación, dimensiones espaciales por donde pasan y la magnitud que transportan.

e.1) Dirección de vibración de las partículas o los campos. 

Pueden ser transversales y longitudinales, dependiendo de como es la dirección vibración de las partículas del medio respecto a la dirección de propagación de la onda. 

En las transversales las partículas vibran en dirección perpendicular a la que sigue la onda. Las ondas en cuerdas de instrumentos musicales, las olas del mar, un tipo de onda sísmica (S), entre otras, son transversales; al igual que las ondas electromagnéticas. En el video siguiente se representa una onda transversal tal como se observaría propagándose en una cuerda elástica muy larga. Su visualización es equivalente a su representación gráfica, es decir, vemos una onda que “dibuja” una función seno o coseno a medida que se propaga. 

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En http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html se puede activar este  Applet de Angel Franco García desde su excelente página Web Física con Ordenador.

En caso de ondas longitudinales, las partículas del medio oscilan en dirección paralela a la dirección de propagación. Ondas sonoras propagándose en el aire o el agua, así como el otro tipo de onda sísmica (P), integran ésta categoría. El video de abajo describe en forma esquemática una onda longitudinal propagándose en el interior de un tubo lleno de gas (los puntos rojos representan sus partículas). Se observa que a medida que la onda se propaga, a lo largo del tubo se presentan zonas donde los puntos se encuentran aglomerados y zonas donde están separados, las cuales representan regiones donde el gas se encuentra comprimido y regiones donde se encuentra diluido, respectivamente. En la parte superior de la figura se representa gráficamente la situación física observada; es semejante a la correspondiente de una onda transversal, como es de esperar. 

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Otros Applets relacionados con este tema  se puede activar en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html#Ondas%20longitudinales%20en%20una%20barra%20el%C3%A1stica ; en http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html se puede visualizar  mediante la simulación una onda longitudinal sonora que se propaga a lo largo de un tubo, así como una  onda transversal.

e.2) Necesidad o no de un medio para propagarse. Si requieren o no de un medio de soporte para su propagación se clasifican en: mecánicas (sonido, olas, tsunamis, ondas en cuerdas, etc.), electromagnéticas (luz visible, ondas de radio, rayos x, rayos gamma, etc.) y las gravitacionales (predichas por la teoría general de la relatividad; no se han detectado pero existen evidencias observacionales en Astronomía de su existencia). Las ondas mecánicas necesitan de un medio material que les sirva de soporte; a medida que la onda pasa por el medio, sus partículas materiales vibran. Las electromagnéticas se propagan a través de un medio material pero también lo hacen en el vacío, en ausencia total de materia; su velocidad de propagación en el vacío es de 300.000 Km/s, aunque en un medio material esta velocidad es menor. Las gravitacionales se propagan también en el vació con la velocidad de la luz. En el siguiente video se visualiza una onda electromagnética tomado del Applet de Walter Fend (http://www.walter-fendt.de/ph14s/emwave_s.htm); las segmentos rojos se refieren al campo eléctrico y los azules al campo magnético.

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e.3) Número de dimensiones espaciales. Dependiendo de si se propagan en una, dos o tres dimensiones se clasifican en ondas lineales, superficiales o volumétricas.  Las ondas en la cuerda de una guitarra se propagan en una sola dirección. Una ola marina se propaga en dos dimensiones. El sonido, la luz las electromagnéticas, en tres dimensiones.

         e.4) Magnitud física que transportan. En general, las ondas transportan energía y cantidad de movimiento. En el movimiento ondulatorio, la materia no fluye; lo que se propaga son los cambios efectuados en las condiciones físicas del medio: cada partícula transmite su estado de movimiento a la partícula vecina, ésta a la siguiente y así sucesivamente. Las partículas que oscilan  tienen energía cinética y potencial. Esta energía es lo que cada partícula transmite a su vecina. Por consiguiente la onda al propagarse, transmite energía con cierta velocidad la cual depende de las propiedades elásticas e inerciales del medio, en el caso de las ondas mecánicas; en el caso de las ondas electromagnéticas, la energía que reside en el campo (electromagnético) se propaga con la velocidad de la luz.

La energía transportada por las ondas se puede utilizar para efectuar trabajo mecánico donde incidan. En particular, una onda sonora al llegar a la membrana del tímpano la pone a vibrar porque le ha cedido energía. La luz solar nos calienta cuando cae en nuestra piel. Una onda de radio al incidir en una antena de un aparato receptor, pone a vibrar los electrones e induce una corriente eléctrica.  Además de la energía, las ondas también transmiten cantidad de movimiento. Por tal razón la luz al incidir sobre una superficie ejerce una presión conocida como de radiación. En consecuencia, sobre la superficie actúa una fuerza. 


f) Fenómenos típicos de las ondas

f.1) Superposición e interferencia


Las ondas se pueden superponer sin alterarse. La incidencia de una onda en el mismo espacio y tiempo correspondiente de otra onda, no cambia sus propiedades. Por consiguiente, las ondas pueden pasar unas a través de otras y continuar sus recorridos originales. Gracias a esta propiedad, se puede establecer una conversación (emitiendo ondas sonoras) entre varias personas a pesar de existir en el ambiente otros sonidos provenientes de otras fuentes. Lo  mismo ocurre con las ondas de radio, se puede  sintonizar una emisora a pesar de la existencia en el espacio de múltiples ondas electromagnéticas de diferentes frecuencias provenientes de otras emisoras. Cuando dos ondas de amplitudes pequeñas se superponen, lo hacen de modo que sus desplazamientos (o campos) se suman algebraicamente. Por consiguiente las ondas obedecen el principio de superposición. Cuando dos ondas se superponen sus energías también se suman. 

Cuando dos ondas (o pulsos) de la misma naturaleza se superponen, se produce lo que se conoce como interferencia, la cual puede ser completamente constructiva o completamente destructiva, dependiendo de si la ondas al combinarse en un determinado punto del espacio, se encuentran en fase o fuera de fase. La onda resultante se amplifica (en fase) o desaparece (desfasadas), debido a que su amplitud se incrementa o se anula, respectivamente. En un caso intermedio, también puede ocurrir que la onda resultante no se anule por completo, disminuya su amplitud, y la interferencia es parcialmente constructiva o destructiva.
A continuación se analizan gráficamente diferentes situaciones de interferencia de dos ondas armónicas. Se deja al lector para que estudie detenidamente los diferentes casos de interferencia de pulsos y ondas con las animaciones computarizadas con GeoGebra. 
En el Applets de abajo se observa la superposición de dos pulsos ondulatorios idénticos  (azul y rojo) que se desplazan en sentidos contrarios y el pulso resultante (negro). A medida que se acercan se superponen e interfieren constructivamente, la amplitud resultante se incrementa hasta un máximo valor, cuando están completamente en fase; luego, cuando se separan se van desfasando y la amplitud  total decrece hasta cero.

 
En el siguiente Applet se muestra cómo se superponen e interfieren dos pulsos iguales en amplitud pero de diferentes signos (uno es positivo y el otro negativo). A medida que se acercan, la amplitud resultante decrece hasta cero cuando coinciden, instante en que la interferencia es completamente destructiva; luego, se separan y se alejan.

 
En el par de applets que se muestra a continuación se observa la superposición de dos pulsos triangulares, tal como el caso anterior. 

 Pulsos positivos.

Pulsos positivo y negativo.

 Por otra parte, dos ondas que se desplazan en una determinada dirección, también se superponen; así que, dependiendo de sus fases, interfieren destructivamente o constructivamente. Sean y1(x,t) y y2(x,t) las ondas de propagación que se mueven en sentidos contrarios en dirección x. La resultante de la superposición de estas ondas,
y1(x,t) = yo sen (k x - ω t)
y
y2(x,t) = yo sen (k x + ω t)
es
y(x,t) =  A  cos (ω t),
donde la amplitud A(x) viene dada por
  A(x) =  2 yo sen (k x).
A partir de esta ecuación se puede obtener la condición para la ubicación de los puntos donde la amplitud de la onda resultante toma un máximo y mínimo valor. Veamos.

La interferencia completamente destructiva se produce cuando
A = 0. 
       Es  decir, sí   sen (k x) = 0.
       Mejor dicho, cuando k x = 0, π, 2π, 3π,... 
                               k xn = n π,  n = 0, 1, 2, 3, ...
       En consecuencia, si x = 0, λ/2λ, 3λ/2,... entonces:
                          xn n λ/2, n = 0, 1, 2, 3, ...
De esta última ecuación se concluye que existen puntos a lo largo del eje x que no se mueven. Esto ocurre porque, mientras que una onda intenta mover cada punto hacia arriba, la otra onda los intenta mover hacia abajo; las ondas actúan desfasadas (fases en oposición) y el efecto neto es que hay puntos en permanente reposo.

 De manera análoga, sí A = 2yola interferencia es completamente constructiva. Es decir, cuando 
                 x = λ/43λ/4, 5λ/4...,   n = 0, 1, 2, 3, ...
                        xn  =  (2n+1) λ/4,  n = 0, 1, 2, 3, ...
En este caso, se concluye que existen puntos a lo largo del eje x que se mueven con máximo desplazamiento, porque ambas ondas mueven este conjunto de puntos hacia arriba y abajo, simultáneamente. Las ondas actúan sincronizadas, en fase, sobre cada uno de estos puntos; así que el efecto neto es que cada punto se mueve con máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio.

La interferencia de dos ondas de propagación, idénticas en todo, que se desplazan en sentidos contrarios con la misma velocidad, se puede analizar en forma gráfica con el applet que se muestra a continuación.




    Pulse Inicio y observe cómo las ondas se superponen. Cuando están en fase, interfieren constructivamente y la amplitud de la onda resultante se duplica; sí están desfasada, interfieren destructivamente y la amplitud de la onda resultante es cero. A medida que se superponen, en cierto instante de tiempo estarán en fase (interferencia completamente constructiva) y posteriormente, estarán desfasadas (interferencia completamente destructiva). Detenga el applet con Pause para visualizar bien la interferencia destructiva y constructiva. Varíe la amplitud A1 y A2 de una de ellas y observe sí se reproduce la situación anterior.

     Se puede observar que, sí A1 = A2 , aunque las dos ondas se desplazan, sin embargo la resultante no es una onda de propagación o viajera; aparece una onda estacionaria sin desplazamiento en dirección x, con puntos que siempre están quietos (no vibran) llamados nodos y puntos con máximo desplazamiento transversal denominados antinodos (vientres). Entre vientres y nodos vecinos, la amplitud de la vibración varía entre 0 y su máximo valor. En las posiciones de los nodos las ondas interfieren destructivamente y en los antinodos, constructivamente. En este caso, para un valor fijo de x, la partícula vibra con la misma frecuencia de las ondas componentes; sin embargo, su amplitud A de vibración estará comprendida entre 0 en los nodos y el máximo valor A = yo en los vientres. Para efecto de comparación, es bueno recordar que la amplitud de cada onda componente es 2yo y cada una de las partículas vibran con esta amplitud. En conclusión, cada par de nodos o antinodos consecutivos está separado media longitud de onda; un nodo y un vientre consecutivo está separado un cuarto de longitud de onda.

En conclusión cada par de nodos o antinodos consecutivos estnan separados media longitud de onda


f.2) Ondas estacionarias en una cuerda



Consideremos una cuerda elástica de longitud L y densidad lineal μ, con un extremo fijo y otro atado a un vibrador armónico cuya frecuencia y amplitud, muy pequeña, se varía a voluntad. La cuerda se somete a la tensión T, tal como se ilustra en la figura de arriba. La onda que se genera en el extremo del vibrador viaja al extremo fijo y se refleja; al reflejarse cambia su fase en  π. En consecuencia, por la cuerda viajan dos ondas idénticas pero en sentidos contrarios. Si la tensión de la cuerda o la frecuencia del vibrador se modifican uno a la vez, se puede lograr la formación de la onda estacionaria; en cuyo caso, en su longitud L, estarán contenidas media, una, una y media, etc. longitudes de ondas.

      Así que, la superposición genera una onda estacionaria, siempre y cuando la tensión o la frecuencia del vibrador se ajuste de modo que en la longitud L estén contenidas: media longitud de onda (L = λ/2), una longitud de onda (L = λ), una y media longitudes de onda (L = 3λ/2), etc. En cuyo caso, la cuerda entra en resonancia y vibra con las frecuencias del generador. Sólo para ciertos valores de la frecuencia se excitan los modos de vibración; el primer modo es el FUNDAMENTAL y le corresponde la menor frecuencia, los demás son los armónicos ARMÓNICOS con  frecuencias mayores. Sí f0 es la frecuencia del modo fundamental, la frecuencia del primer armónico es f1 = 2 f0, la frecuencia del segundo es f2 = 3 f0, la del tercero es f3 = 4 f0 y así sucesivamente. Algunos autores denominan al modo fundamental primer armónico. En general, como v = λ f, se tiene que: 


para el modo fundamental y el resto de armónicos.

     En la siguiente figura se pueden apreciar las gráficas del modo fundamental y los cuatro siguientes. En la parte inferior de cada curva se indica la longitud de onda correspondiente a cada modo. En particular, la longitud de onda del modo fundamental (n = 0) es el doble de la longitud de la cuerda; la del segundo armónico (n =1) es igual a la longitud de onda, y así sucesivamente.



En el video que se muestra a continuación se puede evidenciar el modo fundamental de vibración; además se muestra que, al aumentar la tensión, se incrementa la velocidad de propagación de la onda y la cuerda vibra con mayor rapidez, como es de esperar.





     El siguiente video corresponde a los diferentes modos de vibración. Se pueden observar los nodos y antinodos y cómo la cuerda vibra más rápido a medida que se activan los armónicos superiores de mayor frecuencia.



    El correspondiente applet de este video se puede activar en:   http://geogebratube.org/student/m62792

   
    Con el siguiente applet se puede estudiar el comportamiento de la cuerda vibrante de longitud L, densidad μ y sometida  a una tensión T.



Ver en: http://geogebratube.org/student/m97611

Active el applet con el botón de Inicio para que el tiempo transcurra. Mantenga fijo los valores de la tensión (T = 0,01) y densidad lineal (μ = 0,5). Coloque el cursor sobre el Deslizador N (nodal) y presiónelo. Luego, con el botón "flecha derecha" del tablero cambie su valor desde 0, pasando por 1, 2, 3, 4 y 5. Escuchará el sonido  correspondiente a cada modo de vibración. En caso de que no se active el sonido vaya, por favor, a http://geogebratube.org/student/m63336 (¡Necesita descargar previamente JAVA en la computadora que esté usando!)El sonido del modo fundamental es de 200 Hz, el del primer armónico es de 400 Hz, y así sucesivamente. La frecuencia del sonido no se corresponde con la frecuencia de vibración de la cuerda; es sólo una estrategia pedagógica utilizada para facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de este tema particular. Elija luego N = 1 para activar el modo fundamental de vibración. Aumente la tensión de la cuerda con el deslizador T y observe cómo la cuerda incrementa su frecuencia de vibración. Recuerde la fórmula anterior para fn. Por último, varíe la densidad lineal y observe cómo influye ésta en la frecuencia.

     En "La Física del Cuatro (1/3)" del presente Blog se hace una discusión completa de este tema a partir de las cuerdas del Cuatro criollo venezolano. Ver: http://senderospedagogicos.blogspot.com/2012/03/el-cuatro-criollo-nuestro-cuatro-esta.html#more



f.3) Pulsaciones o batidos

Consideremos dos ondas unidimensionales de la misma naturaleza (sonido, por ejemplo) con amplitudes y fases iguales, frecuencias (f1  f2; f1-f2 « f1) y longitudes de onda un poquito diferentes, que se propagan en el espacio y alcanzan el mismo receptor (oído, micrófono, entre otros). Las ondas recorren distancias iguales, se superponen en un punto y se combinan para producir otra onda muy parecida al par que la originó; no obstante, su amplitud varía en el tiempo. Tal variación temporal de la amplitud se debe a la interferencia CONSTRUCTIVA (coinciden en fase) y DESTRUCTIVA (coinciden desfasadas) que se produce cada cierto intervalo de tiempo. En consecuencia, se manifiestan las PULSACIONES o BATIDOS

La resultante de las ondas, 
y1(x,t) = yo sen (k1 x - ω1 t)
y
y2(x,t) = yo sen (k2 x - ω2 t),
es otra onda, cuya frecuencia y número de onda son los promedios de las dos. Es decir:  
y(x,t) = A sen (kp x - ωp t),
donde
                           ωp = (ω1 +ω2)/2
                                            y  
                                  kp = (k1 + k2)/2, 

son los valores promedios de las frecuencias angulares y los números de onda, respectivamente; y donde la amplitud de la onda es 
                          A =  2 yo cos ( km x - ωm t )   
con 
                                   km = (k1 - k2)/2
                                             y
                                  ωm = (ω1 - ω2)/2.
       En las ecuaciones anteriores el subíndice m se refiere a la modulación.

 Por consiguiente, longitud de onda, la frecuencia y el período de la modulación son 
λm = 2 π/km,
fm = (f1 - f2)/2,
y
Tm = (2 T1 T2)/(T2 - T1).

Finalmente el período de las pulsaciones es
Tp =  Tm /2 .
    En el siguiente Applet (y versus x) se puede visualizar la representación gráfica de dos ondas sonoras (roja y azul) que interfieren, la onda que resulta (verde) y la modulación de la amplitud (negro). Las correspondientes longitudes de onda son  λ1 = 1,6 m  y  λ2 = 1,7 m; la velocidad del sonido es de 330 m/s. Al  activar los botones se visualizan las ondas y la curva que modula la amplitud. Para x = 0 m, se puede observar que las ondas salen en fase; cerca de x = 13 m se desfasan por completo (interferencia destructiva) y que a medida que se propagan sus fases se igualan, es decir, sus valles y crestas (cerca de x = 26 m) coinciden y la onda resultante se refuerza (interferencia constructiva); más adelante (cerca de x = 40 m) una cresta coincide con un valle y se anulan por completo otra vez; y así, sucesivamente. Al activar la casilla de Modulación se puede medir la longitud de onda de la onda sonora modulada.




En este otro, también se puede apreciar lo antes discutido.



En estos casos de onda sonora, cada cierto intervalo de tiempo se escucha un sonido que varía su intensidad. El sonido alterna entre pulsos de cierta intensidad (interferencia completamente constructiva) e intervalos de silencio (interferencia completamente destructiva). 

Actividades:

1. Active el botón Onda 1 para visualizar la primera onda; active el botón 2. Detalle cómo se desfasan (interferencia destructiva) y entran en fase (interferencia constructiva).

2. Active el botón Batidos para activar la onda resultante modulada en amplitud.

3. Pulse el botón de Inicio para observar el cambio de amplitud de la onda resultante en un punto fijo (x = 50 m, por ejemplo ). 

4. Varíe el valor del Deslizador V. Para V = 0 ambos sonidos tienen la misma frecuencia. Sí V = 1, la diferencia de frecuencia es 1. Incremente V y escuche cómo las pulsaciones disminuyen su período.


    A continuación, en la siguiente gráfica se puede apreciar las pulsaciones registradas con el software Adobe Audition para las ondas sonoras con f1 = 194,11 Hz (λ1 = 1,7 m) y f2 = 206,25 Hz (λ2 = 1,6 m). Los sonidos fueron generados con NCH Tone Generator. Note la similitud con la gráfica del Applet anterior. 




Presionando el botón inferior se activan las pulsaciones generadas por dos ondas sonoras de 440 y 438 Hz. 





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